@xixi003

Leetcode-sqrt(x)


题目描述

  • Implement int sqrt(int x).
  • Compute and return the square root of x.

代码

最早想到的当然是二分法了……直接上代码……

 #include <iostream>
 #include <cstdio>

 using namespace std;

 int sqrt(int x)
 {
	if(x < 1)
		return 0;
	if(x == 1)
		return 1;
	int start = 1;
	int end = x;
	int mid;
	while(start <= end)
	{
		mid = (start + end) / 2;
		if(x / mid == mid)
			return mid;
		if(mid < x / mid)
			start = mid + 1;
		else
		end = mid – 1;
	}
	return (start + end) / 2;
 }
 int main()
 {
	int x;

	#ifndef judge
	freopen("in2.in","r",stdin);
	freopen("std2.out","w",stdout);
	#endif

	while(cin>>x)
	{
		cout<<sqrt(x)<<endl;
	}

	#ifndef judge
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	#endif

	return 0;
 }

好像还有更简单的办法,end直接取x/2+1即可，因为一个数的平方根不会比一半大……

代码二

 int sqrt(int x) {
    long long i = 0;
    long long j = x / 2 + 1;
    while (i <= j)
    {
	long long mid = (i + j) / 2;
	long long sq = mid * mid;
	if (sq == x) return mid;
	else if (sq < x) i = mid + 1;
	else j = mid – 1;
    }
    return j;
 }

牛顿迭代法

为了方便理解，就先以本题为例：

计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x – xi)，其中f’(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

有了迭代公式，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

int sqrt(int x) {
    if (x == 0) return 0;
    double last = 0;
    double res = 1;
    while (res != last)
    {
	last = res;
	res = (res + x / res) / 2;
    }
    return int(res);
}

同样，double也适用